Региональный этап всероссийской олимпиады школьников ВОШ по МАТЕМАТИКЕ и ЭЙЛЕРА — 2022 (задания и ответы)

ВОШ Региональный этап ответы и задания для 8, 9, 10, 11 классов олимпиады по МАТЕМАТИКЕ и ЭЙЛЕРА региональный этап 2021-2022 всероссийской олимпиады школьников (ВсОШ). Олимпиада проходит во всех школах регионах России 4 и 5 февраля

Задания 1 тур: 8 класс | 9 класс | 10 класс| 11 класс
Задания 2 тур: 8 класс | 9 класс | 10 класс| 11 класс
Решения: 8 класс | 9-11 класс

Смотреть Онлайн задания и ответы

Некоторые задания:

9.1. Как-то Дима записал на доске десять натуральных чисел. Среди этих чисел нет двух равных. Известно, что из десяти написанных чисел можно выбрать три числа, делящихся на 5. Также известно, что из написанных десяти чисел можно выбрать четыре числа, делящихся на 4. Может ли сумма всех написанных на доске чисел быть меньше 75?

9.2. На доске девять раз (друг под другом) написали некоторое натуральное число N . Петя к каждому из 9 чисел приписал слева или справа одну ненулевую цифру; при этом все приписанные цифры различны. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди 9 полученных чисел?

9.3. Дан квадратный трёхчлен P(x) , не обязательно с целыми коэффициентами. Известно, что при некоторых целых a и b разность P(a)  P(b) является квадратом натурального числа. Докажите, что существует более миллиона таких пар целых чисел (c,d) , что разность P(c)  P(d) также является квадратом натурального числа.

9.4. В компании некоторые пары людей дружат (если A дружит с B , то и B дружит с A ). Оказалось, что среди каждых 100 человек в компании количество пар дружащих людей нечётно. Найдите наибольшее возможное количество человек в такой компании.

9.5. Пусть CE – биссектриса в остроугольном треугольнике ABC . На внешней биссектрисе угла ACB отмечена точка D, а на стороне BC – точка F , причём BAD = 90 = DEF . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника CEF , лежит на прямой BD

10.6. На доске написаны три последовательных нечётных числа. Может ли сумма остатков от деления этих трёх чисел на 2022 равняться некоторому простому числу?

10.7. Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором A = 2B . Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке E . Докажите, что AD  AE = BE .

10.8. На плоскости отмечены N точек. Любые три из них образуют треугольник, величины углов которого в градусах выражаются натуральными числами. При каком наибольшем N это возможно?

10.9. В вершины правильного 100-угольника поставили 100 фишек, на которых написаны номера 1, 2,…100, именно в таком порядке по часовой стрелке. За один ход разрешается поменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, в том случае если номера этих фишек отличаются не более чем на k . При каком наименьшем k серией таких ходов можно добиться расположения, в котором каждая фишка сдвинется на одну позицию по часовой стрелке (по отношению к своему начальному положению)?

10.10. Докажите, что существует натуральное число b такое, что при любом натуральном n > b сумма цифр числа n! не меньше 10 в 100 степени.

Вам будет интересно:

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников ВОШ по ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ — 2022 (задания и ответы)