ЕГЭ 2023. Как эффективно решать задачи ЕГЭ по планиметрии? Поэтапная методика. Полезные советы и классические подходы к решению задач по планиметрии. Техники и секреты успешного решения задач по планиметрии.
Скачать практику: Скачать
Равновозможные исходы. Знакомство
1. Смежные углы
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180∘.
∠1 + ∠2 = 180∘
2. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
∠1 = ∠2;
∠3 = ∠4;
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 2 · (∠2 + ∠3) = 180∘ =⇒
∠2 + ∠3 = 90∘.
3. Вертикальные углы:
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
∠1 = ∠3
∠2 = ∠4
4. Если даны две параллельные прямые и их секущая, то углы 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 называются соответственными, углы 3 и 6, 4 и 5 называются накрест лежащими, углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними односторонними. Тогда: Соответственные углы равны:
∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8;
Накрест лежащие углы равны:
∠3 = ∠6; ∠4 = ∠5;
Внутренние односторонние углы в сумме дают 180 градусов:
∠3 + ∠5 = 180∘; ∠4 + ∠6 = 180∘.
5. Биссектрисы односторонних внутренних углов перпендикулярны.
6. Сумма внутренних углов произвольного ?- угольника равна 180∘· (? − 2).
Например, если ? = 6, то
∠?1+∠?2+∠?3+∠?4+∠?5+∠?6 = 180∘·(6−2) = 720∘.
7. Внешним углом многоугольника будем называть угол, смежный внутреннему углу многоугольника. Их сумма равна
(180∘ − ∠?1) + . . . + (180∘ − ∠??) = ? · 180∘− −180∘ · (? − 2) = 360∘ .
2 Треугольники общего вида
1. Сумма углов треугольника равна 180∘.
2. Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.
3. Второй признак равенства треугольников: по стороне и прилежащим к ней углам.
Замечание: На самом деле ситуация, в которой один угол прилёг к стороне, а второй – нет, также приводит к равенству треугольников, так как оставшийся угол задаётся однозначно по двум известным.
Ситуация, в которой один из пар равных углов прилегает к равной стороне, а вторая пара равных углов нет, тоже приводит к равенству треугольников. Действительно, пусть нам даны треугольники ??? и ?1?1?1, причём ∠? = ∠?1, ∠? = ∠?1, ?? = ?1?1, тогда
∠? = 180∘ − (∠? + ∠?) = 180∘ − (∠?1 + ∠?1) = ∠?1 =⇒ ∠? = ∠?1 А значит треугольники равны по второму признаку.
4. Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам.
5. Если две стороны и угол напротив одной из сторон первого треугольника соответственно равны двум сторонам и углу второго треугольника, то возможны два варианта:
1) Углы напротив второй стороны равны ⇐⇒ треугольники равны
2) Углы напротив второй стороны дополняют друг друга до 180∘ ⇐⇒ треугольники не равны (кроме случая прямоугольного треугольника).
Замечание: Покажем, почему в четвёртом признаке равенства треугольников возникает два случая. Пусть длина стороны ?? равна ?, длина стороны ?? равна ? и угол при вершине ? равен ?. Построим два разных треугольника со сторонами ?, ? и углом ?: построим угол ? и назовем его вершину ?, от вершины ? отложим от одной из сторон угла отрезок, равный по длине ?, его концом назовём точку ?, через вершину ? проведём окружность радиуса ?, которая может пересечь вторую сторону угла в двух точках (назовём их ? и ?′ ). Тогда отрезки ?? и ?′? имеют длину ?, то есть мы получили два не совпадающих треугольника ??? и ?′??, которые имеют стороны ?, ? и угол ?. Именно поэтому в первом признаке равенства треугольников речь идёт об угле между сторонами. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого. Отношение ? соответственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия