ЕГЭ 2025. Геометрические конструкции на ЕГЭ: ключевые приемы. Методическое пособие по важным геометрическим конструкциям, часто встречающимся в задачах на ЕГЭ.
Скачать практику ЕГЭ: Скачать
Интересные задания:
«Параллелограмм, пересекающий окружность».
1. Дано: 𝑤 – окружность, 𝐴𝐵𝐶𝐷 – параллелограмм, 𝐴, 𝐵, 𝐷 ∈ 𝑤, 𝐵𝐶 ∩ 𝑤 = 𝐸, 𝐶𝐷 ∩ 𝑤 = 𝐾.
2. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. Диагонали равнобедренной трапеции равны. Так как 𝐴𝐵𝐶𝐷 – параллелограмм, то 𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶. Тогда 𝐴𝐵𝐸𝐷 – трапеция, вписанная в окружность, следовательно, она равнобедренная. То есть, 𝐴𝐵 = 𝐸𝐷. Получается, что 𝐴𝐸 = 𝐵𝐷 как диагонали.
3. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
4. Получаем, что 𝐴𝐸 = 𝐵𝐷 и 𝐴𝐾 = 𝐵𝐷, откуда 𝐴𝐸 = 𝐴𝐾.
5. Так как 𝐴𝐵𝐶𝐷 – параллелограмм, то 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, а 𝐴𝐵 = 𝐸𝐷 как стороны равнобедренной трапеции. Отсюда получаем, что 𝐸𝐷 = 𝐶𝐷. Тогда △𝐶𝐷𝐸 – равнобедренный.
6. Так как 𝐴𝐵𝐶𝐷 – параллелограмм, то 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶, а 𝐴𝐷 = 𝐵𝐾 как стороны равнобедренной трапеции. Отсюда получаем, что 𝐵𝐾 = 𝐵𝐶. Тогда △𝐵𝐾𝐶 – равнобедренный.
«Трилистник»
1. Дано: △𝐴𝐵𝐶, 𝑤 – описанная окружность, 𝑂 – центр вписанной окружности, 𝐵𝑂 – биссектриса, 𝐵𝑂 ∩ 𝑤 = 𝑃.
2. Так как 𝐵𝑂 и 𝐶𝑂 – биссектрисы, то ∠𝐴𝐵𝑃 = ∠𝑃 𝐵𝐶 и ∠𝐵𝐶𝑂 = ∠𝑂𝐶𝐴.
3. ∠𝐴𝐵𝑃 = ∠𝐴𝐶𝑃 как вписанные и опирающиеся на общую дугу 𝐴𝑃.
4. Обозначим ∠𝐴𝐵𝑃 = 𝑥, тогда ∠𝐴𝐵𝑃 = ∠𝑃 𝐵𝐶 = = ∠𝐴𝐶𝑃 = 𝑥, а ∠𝐵𝐶𝑂 = 𝑦, тогда ∠𝐵𝐶𝑂 = ∠𝑂𝐶𝐴 = 𝑦.
5. ∠𝑃 𝑂𝐶 = ∠𝑃 𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐶𝑂 = 𝑥 + 𝑦 как внешний угол △𝐵𝑂𝐶. ∠𝑂𝐶𝑃 = ∠𝑂𝐶𝐴 + ∠𝐴𝐶𝑃 = 𝑥 + 𝑦. Получается, что ∠𝑃 𝑂𝐶 = ∠𝑂𝐶𝑃 = 𝑥 + 𝑦, следовательно, △𝐶𝑃 𝑂 – равнобедренный и 𝑂𝑃 = 𝑃 𝐶.
6. Рассуждая аналогично, получаем, что △𝐴𝑃 𝑂 – равнобедренный и 𝐴𝑃 = 𝑂𝑃. Тогда 𝐴𝑃 = 𝑂𝑃 = 𝑃 𝐶. *Равенство отрезков 𝐴𝑃 = 𝑃 𝐶 можно также доказать, пользуясь тем, что ⌣ 𝐴𝑃 =⌣ 𝑃 𝐶 (так как 𝐵𝑂 – биссектриса), а равные дуги стягиваются равными хордами.
Вывод:
Если биссектриса 𝐵𝑂 пересекает описанную около △𝐴𝐵𝐶 окружность в точке 𝑃, то образуются равные отрезки: 𝐴𝑃 = 𝑃 𝑂 = 𝑃 𝐶.