ЕГЭ 2025. Геометрические конструкции на ЕГЭ: ключевые приемы. Методическое пособие по важным геометрическим конструкциям, часто встречающимся в задачах на ЕГЭ.
Скачать практику ЕГЭ: Скачать
Интересные задания:
«Параллелограмм, пересекающий окружность».
1. Дано: ? – окружность, ???? – параллелограмм, ?, ?, ? ∈ ?, ?? ∩ ? = ?, ?? ∩ ? = ?.
2. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. Диагонали равнобедренной трапеции равны. Так как ???? – параллелограмм, то ?? ‖ ??. Тогда ???? – трапеция, вписанная в окружность, следовательно, она равнобедренная. То есть, ?? = ??. Получается, что ?? = ?? как диагонали.
3. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
4. Получаем, что ?? = ?? и ?? = ??, откуда ?? = ??.
5. Так как ???? – параллелограмм, то ?? = ??, а ?? = ?? как стороны равнобедренной трапеции. Отсюда получаем, что ?? = ??. Тогда △??? – равнобедренный.
6. Так как ???? – параллелограмм, то ?? = ??, а ?? = ?? как стороны равнобедренной трапеции. Отсюда получаем, что ?? = ??. Тогда △??? – равнобедренный.
«Трилистник»
1. Дано: △???, ? – описанная окружность, ? – центр вписанной окружности, ?? – биссектриса, ?? ∩ ? = ?.
2. Так как ?? и ?? – биссектрисы, то ∠??? = ∠? ?? и ∠??? = ∠???.
3. ∠??? = ∠??? как вписанные и опирающиеся на общую дугу ??.
4. Обозначим ∠??? = ?, тогда ∠??? = ∠? ?? = = ∠??? = ?, а ∠??? = ?, тогда ∠??? = ∠??? = ?.
5. ∠? ?? = ∠? ?? + ∠??? = ? + ? как внешний угол △???. ∠??? = ∠??? + ∠??? = ? + ?. Получается, что ∠? ?? = ∠??? = ? + ?, следовательно, △?? ? – равнобедренный и ?? = ? ?.
6. Рассуждая аналогично, получаем, что △?? ? – равнобедренный и ?? = ??. Тогда ?? = ?? = ? ?. *Равенство отрезков ?? = ? ? можно также доказать, пользуясь тем, что ⌣ ?? =⌣ ? ? (так как ?? – биссектриса), а равные дуги стягиваются равными хордами.
Вывод:
Если биссектриса ?? пересекает описанную около △??? окружность в точке ?, то образуются равные отрезки: ?? = ? ? = ? ?.