ЕГЭ 2024. Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
Пробный вариант составлен на основе официальной демоверсии от ФИПИ за 2024 год.
В конце варианта приведены правильные ответы ко всем заданиям. Вы можете свериться с ними и найти у себя ошибки.
Скачать тренировочный вариант ЕГЭ: Скачать
Или создайте свой оригинальный вариант: Перейти
Интересные задания:
1. Острый угол 𝐵 прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите угол между биссектрисой 𝐶𝐷 и высотой 𝐶𝑀, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗. Найдите косинус угла между векторами 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗.
3. Конус вписан в шар (см. рисунок). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 47. Найдите объём шара.
4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
6. Найдите корень уравнения √6 + 5𝑥 = 𝑥. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−2; 9). В какой точке отрезка [2; 8] функция 𝑓(𝑥) принимает наименьшее значение?
9. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой 𝑓0 = 192 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка 𝑓 (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза 𝜈 (в м/с) по закону 𝑓(𝜈) = 𝑓0 1− 𝜈 𝑐 (Гц), где 𝑐 — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а 𝑐 = 300 м/с. Ответ дайте в м/с.
10. Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, где числа 𝑎, 𝑏 и 𝑐 − целые. Найдите значение 𝑓(−12).
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (𝑥 − 4) 2 (𝑥 + 5) + 8.
13. а) Решите уравнение 𝑥 − 3√𝑥 − 1 + 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [√3; √20].
14. Различные точки 𝐴, 𝐵 и 𝐶 лежат на окружности основания конуса с вершиной 𝑆 так, что отрезок 𝐴𝐵 является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°. а) Докажите, что cos∠𝐴𝑆𝐶 + cos∠𝐵𝑆𝐶 = 1,5. б) Найдите объём тетраэдра 𝑆𝐴𝐵𝐶, если 𝑆𝐶 = 1, cos∠𝐴𝑆𝐶 = 2 3 .
15. Решите неравенство (log0,25 2 (𝑥 + 3) − log4 (𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + 1) ∙ log4 (𝑥 + 2) ≤ 0.
16. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; – в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в июле 2030 года долг должен составить 800 тыс. рублей; – в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.
17. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐵𝐴𝐷 прямой. Окружность, построенная на большем основании 𝐴𝐷 как на диаметре, пересекает меньшее основание 𝐵𝐶 в точках 𝐶 и 𝑀. а) Докажите, что ∠𝐵𝐴𝑀 = ∠𝐶𝐴𝐷. б) Диагонали трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. Найдите площадь треугольника 𝐴𝑂𝐵, если 𝐴𝐵 = 6, а 𝐵𝐶 = 4𝐵𝑀.
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение 𝑥 2 + (2 − 𝑎) 2 = |𝑥 − 2 + 𝑎| + |𝑥 − 𝑎 + 2| имеет единственный корень.
19. Квадратное уравнение 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 имеет два различных натуральных корня. а) Пусть 𝑞 = 34. Найдите все возможные значения 𝑝. б) Пусть 𝑝 + 𝑞 = 22. Найдите все возможные значения 𝑞. в) Пусть 𝑞 2 − 𝑝 2 = 2812. Найдите все возможные корни исходного уравнения.