ЕГЭ 2025. Задача №2 профильного ЕГЭ по математике. Содержание:
→ Основные понятия о векторах.
→ Линейные операции с векторами.
→ Скалярное произведение векторов.
→ Применение векторов в геометрии.
→ Ответы на задания.
Скачать методичку ЕГЭ: Скачать
Интересные задания:
1 Векторы. Основные понятия
Теоретическая справка
Вектор – это направленный отрезок, одна из граничных точек которого является его началом, а другая — концом.
Если точка 𝐴 – начало вектора, а точка 𝐵 – его конец, то вектор обозначается −→𝐴𝐵. Вектор также можно обозначать одной буквой, например, ⃗𝑎. Направление вектора
на рисунке указывается стрелкой (рис. 2, рис. 3).
Вектор с началом в точке 𝐵 и с концом в точке 𝐴, т.е. вектор
−→𝐵𝐴 (рис. 3), называется противоположным вектору
−→𝐴𝐵 (рис. 2).
−→𝐴𝐵 (или модуль вектора
−→𝐴𝐵) принимается отрезка 𝐴𝐵 и обозначается |
−→𝐴𝐵|. Длина вектора ⃗𝑎 обозначается |⃗𝑎|.
Пусть на координатной плоскости 𝑥𝑂𝑦 заданы две точки 𝐴(𝑥1; 𝑦1) и 𝐵(𝑥2; 𝑦2), тогда длину вектора −𝐴𝐵 можно найти по формуле: | −→𝐴𝐵| = √︀ (𝑥2 − 𝑥1) 2 + (𝑦2 − 𝑦1) 2 .
Пример 1
Найдите длину вектора −→𝐴𝐵, если 𝐴(1; −2) и 𝐵(4; 2).
Решение:
Воспользуемся формулой: | −→𝐴𝐵| = √︀ (𝑥2 − 𝑥1) 2 + (𝑦2 − 𝑦1) 2 = √︀ (4 − 1)2 + (2 − (−2))2 = √ 3 2 + 42 = 5.
Ответ: 5.
В отличии от отрезка вектор имеет координаты.
Для того, чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца этого вектора вычесть координаты его начала. Так у вектора −→𝐴𝐵, где 𝐴(𝑥1; 𝑦1) и 𝐵(𝑥2; 𝑦2), координатами являются значения выражений 𝑥2 − 𝑥1 и 𝑦2 − 𝑦1, т.е. −→𝐴𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1; 𝑦2 − 𝑦1).
Вам будет интересно:
ЕГЭ по математике (база) 11 класс 2025. Новый тренировочный вариант №10 (задания и ответы)