ЕГЭ 2023. Как эффективно решать задачи ЕГЭ по планиметрии? Поэтапная методика. Полезные советы и классические подходы к решению задач по планиметрии. Техники и секреты успешного решения задач по планиметрии.
Скачать практику: Скачать
Равновозможные исходы. Знакомство
1. Смежные углы
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180∘.
∠1 + ∠2 = 180∘
2. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
∠1 = ∠2;
∠3 = ∠4;
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 2 · (∠2 + ∠3) = 180∘ =⇒
∠2 + ∠3 = 90∘.
3. Вертикальные углы:
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
∠1 = ∠3
∠2 = ∠4
4. Если даны две параллельные прямые и их секущая, то углы 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 называются соответственными, углы 3 и 6, 4 и 5 называются накрест лежащими, углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними односторонними. Тогда: Соответственные углы равны:
∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8;
Накрест лежащие углы равны:
∠3 = ∠6; ∠4 = ∠5;
Внутренние односторонние углы в сумме дают 180 градусов:
∠3 + ∠5 = 180∘; ∠4 + ∠6 = 180∘.
5. Биссектрисы односторонних внутренних углов перпендикулярны.
6. Сумма внутренних углов произвольного 𝑛- угольника равна 180∘· (𝑛 − 2).
Например, если 𝑛 = 6, то
∠𝐴1+∠𝐴2+∠𝐴3+∠𝐴4+∠𝐴5+∠𝐴6 = 180∘·(6−2) = 720∘.
7. Внешним углом многоугольника будем называть угол, смежный внутреннему углу многоугольника. Их сумма равна
(180∘ − ∠𝐴1) + . . . + (180∘ − ∠𝐴𝑛) = 𝑛 · 180∘− −180∘ · (𝑛 − 2) = 360∘ .
2 Треугольники общего вида
1. Сумма углов треугольника равна 180∘.
2. Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.
3. Второй признак равенства треугольников: по стороне и прилежащим к ней углам.
Замечание: На самом деле ситуация, в которой один угол прилёг к стороне, а второй – нет, также приводит к равенству треугольников, так как оставшийся угол задаётся однозначно по двум известным.
Ситуация, в которой один из пар равных углов прилегает к равной стороне, а вторая пара равных углов нет, тоже приводит к равенству треугольников. Действительно, пусть нам даны треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴1𝐵1𝐶1, причём ∠𝐴 = ∠𝐴1, ∠𝐵 = ∠𝐵1, 𝐴𝐶 = 𝐴1𝐶1, тогда
∠𝐶 = 180∘ − (∠𝐴 + ∠𝐵) = 180∘ − (∠𝐴1 + ∠𝐵1) = ∠𝐶1 =⇒ ∠𝐶 = ∠𝐶1 А значит треугольники равны по второму признаку.
4. Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам.
5. Если две стороны и угол напротив одной из сторон первого треугольника соответственно равны двум сторонам и углу второго треугольника, то возможны два варианта:
1) Углы напротив второй стороны равны ⇐⇒ треугольники равны
2) Углы напротив второй стороны дополняют друг друга до 180∘ ⇐⇒ треугольники не равны (кроме случая прямоугольного треугольника).
Замечание: Покажем, почему в четвёртом признаке равенства треугольников возникает два случая. Пусть длина стороны 𝐴𝐵 равна 𝑎, длина стороны 𝐵𝐶 равна 𝑏 и угол при вершине 𝐶 равен 𝛼. Построим два разных треугольника со сторонами 𝑎, 𝑏 и углом 𝛼: построим угол 𝛼 и назовем его вершину 𝐶, от вершины 𝐶 отложим от одной из сторон угла отрезок, равный по длине 𝑏, его концом назовём точку 𝐵, через вершину 𝐵 проведём окружность радиуса 𝑎, которая может пересечь вторую сторону угла в двух точках (назовём их 𝐴 и 𝐴′ ). Тогда отрезки 𝐴𝐵 и 𝐴′𝐵 имеют длину 𝑎, то есть мы получили два не совпадающих треугольника 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴′𝐵𝐶, которые имеют стороны 𝑎, 𝑏 и угол 𝛼. Именно поэтому в первом признаке равенства треугольников речь идёт об угле между сторонами. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого. Отношение 𝑘 соответственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия