ЕГЭ 2024. Планиметрия с нуля. Вся необходимая теория для заданий №1 и №17 собрана в нашем пособии.
Скачать методичку: Скачать
Интересные задания:
1. Смежные углы: Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180∘ .
∠1 + ∠2 = 180∘
2. Вертикальные углы: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
∠1 = ∠3
∠2 = ∠4
3. Сумма углов треугольника равна 180∘.
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180∘
*Примечание: угол 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 – это угол 𝐴𝐶𝐵.
4. Сумма острых углов прямоугольного треугольника
равна 90∘.
∠𝐴 + ∠𝐵 = 90∘
5. Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶
∠𝐴 = ∠𝐶
Биссектриса, проведенная из вершины равнобедренного треугольника к основанию, является медианой и высотой.
6. Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы равностороннего треугольника равны 60∘ .
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶
∠𝐴 = ∠𝐵 = ∠𝐶 = 60∘
7. Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.
8. Второй признак равенства треугольников: по стороне и прилежащим к ней углам.
9. Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам.
10. Биссектриса – луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы одного из углов треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
11. Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
12. Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Если треугольник тупоугольный, то две его высоты лежат вне треугольника. Если треугольник прямоугольный, то две его высоты совпадают с его катетами.
13. Признаки параллельности двух прямых. Прямая 𝑐 называется секущей по отношению к прямым 𝑎 и 𝑏, если она пересекает их в двух точках. При пересечении прямых 𝑎 и 𝑏 секущей 𝑐 образуется восемь углов, которые на рисунке обозначены цифрами от 1 до 8. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:
внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
внешние накрест лежащие углы: 2 и 8, 7 и 1;
внутренние односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Если при пересечении двух прямых секущей выполняется одно из указанных условий:
а) накрест лежащие углы равны (внутренние или внешние);
б) односторонние (внутренние или внешние) углы дают в сумме 180∘;
в) соответственные углы равны, то прямые параллельны.
14. Свойства параллельных прямых:
а) накрест лежащие углы равны (внутренние или внешние);
б) односторонние (внутренние или внешние) углы дают в сумме 180∘ ;
в) соответственные углы равны.
15. Теорема о внешнем угле треугольника:
Прямоугольный треугольник
1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 .
3. Напротив угла в 30∘ лежит катет, равный половине гипотенузы: если 𝛼 = 30∘ , тогда 𝑎 = 𝑐 2.
4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит прямой угол на два угла, которые равны двум острым углам прямоугольного треугольника. Иначе говоря, высота, проведенная из вершины прямого угла, делит прямоугольный треугольник на 2 прямоугольных треугольника, подобных исходному. *Возможно, что вы ничего не поняли, но мы надеемся, что вы посмотрите на картинку и все поймете.
5. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
Верно и обратное: если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то эта медиана исходит из вершины прямого угла. То есть наш треугольник – прямоугольный.
Вам будет интересно:
ЕГЭ по математике (профиль) 11 класс 2024. Новый тренировочный вариант №22 (задания и ответы)