ЕГЭ 2024. В этом сборнике вы найдёте 36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике. Все задания из второй части сборника, а именно, все 17 заданий по геометрии, уже решены и имеют ответы. Этот сборник поможет вам лучше подготовиться к реальному экзамену, который состоится 31 мая 2024 года.
Скачать практику: Скачать
Интересные задания:
8 На стороне 𝐵𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 отметили точку 𝐸 так, что 𝐵𝐸 : 𝐸𝐶 = 1 : 3. Через точку 𝐸 перпендикулярно 𝐵𝐶 провели прямую, которая пересекает диагонали 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 в точках 𝑅 и 𝑀 соответственно , при этом 𝐵𝑅 : 𝑅𝐷 = 1 : 2.
a) Докажите, что точка 𝑀 делит отрезок 𝐴𝐶 в отношении 3 : 2, считая от вершины 𝐶.
б) Найдите периметр ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝑀𝑅 = √ 15.
9 В равнобедренной трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 боковая сторона 𝐴𝐵 равна 𝑎, а основание 𝐴𝐷 = 𝑐 больше основания 𝐵С = 𝑏. Построена окружность, касающаяся сторон 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 и 𝐴𝐷.
a) Докажите, что если 𝑏 + 𝑐 > 2𝑎, то окружность пересекает сторону 𝐵𝐶 в двух точках.
б) Найдите длину той части отрезка 𝐵𝐶, которая находится внутри окружности, если 𝑐 = 12, 𝑏 = 10, 𝑎 = 8.
10 В равнобедренной трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 боковая сторона 𝐴𝐵 равна 𝑎, а основание 𝐴𝐷 = 𝑐 больше основания 𝐵С = 𝑏. Построена окружность, касающаяся сторон 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 и 𝐴𝐷.
a) Докажите, что если окружность не пересекает сторону 𝐵𝐶, то если 𝑏 + 𝑐 < 2𝑎.
б) Найдите длину той части средней линии трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, которая находится внутри окружности, если 𝑐 = 12, 𝑏 = 6, 𝑎 = 10.
11 В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐵𝐴𝐶 вдвое больше угла 𝐶𝐴𝐷. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. На продолжении стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸.
а) Докажите, что 𝐴𝐿 : 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 : 𝐵𝐶.
б) Найдите 𝐸𝐿, если 𝐴𝐶 = 21, tg ∠𝐵𝐶𝐴 = 0,4.
12 В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐵𝐴𝐶 вдвое больше угла 𝐶𝐴𝐷. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. На продолжении стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸.
а) Докажите, что 𝐴𝐵 : 𝐴𝐿 = 𝐵𝐶 : 𝐴𝐶.
б) Найдите 𝐸𝐿, если 𝐴𝐶 = 24, tg ∠𝐵𝐶𝐴 = 0,6.
13 Четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 со сторонами 𝐵𝐶 = 7 и 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 20 вписан в окружность радиусом 𝑅 = 16.
а) Докажите, что прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 параллельны.
б) Найдите 𝐴𝐷.
14 Четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 со сторонами 𝐵𝐶 = 14 и 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 40 вписан в окружность радиусом 𝑅 = 25.
а) Докажите, что прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 параллельны.
б) Найдите 𝐴𝐷.
15 В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 с меньшим основанием 𝐵𝐶 точки 𝐸 и 𝐹 — середины сторон 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 соответственно. В каждый из четырехугольников 𝐴𝐵𝐸𝐹 и 𝐸𝐶𝐷𝐹 можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝐴𝐵 = 7, а радиус окружности, вписанной в четырехугольник 𝐴𝐵𝐸𝐹, равен 2,5. 16 В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 с меньшим основанием
16 𝐵𝐶 точки 𝐸 и 𝐹 – середины сторон 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 соответственно. В каждый из четырехугольников 𝐴𝐵𝐸𝐹 и 𝐸𝐶𝐷𝐹 можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝐵𝐶 = 16, а
радиус окружности, вписанной в четырехугольник 𝐴𝐵𝐸𝐹, равен 7.
17 Окружность с центром в точке 𝐶 касается гипотенузы 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 и пересекает его катеты 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 в точках 𝐸 и 𝐹. Точка 𝐷 – основание высоты, опущенной из вершины 𝐶. 𝐼 и 𝐽 – центры окружностей, вписанных в треугольники 𝐵𝐶𝐷 и 𝐴𝐶𝐷.
а) Докажите, что 𝐼 и 𝐽 лежат на отрезке 𝐸𝐹.
б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до прямой 𝐼𝐽, если 𝐴𝐶 = 15, 𝐵𝐶 = 20.
18 Окружность с центром в точке 𝐶 касается гипотенузы 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 и пересекает его катеты 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 в точках 𝐸 и 𝐹. Точка 𝐷 – основание высоты, опущенной на 𝐴𝐵. 𝐼 и 𝐽 – центры окружностей, вписанных в треугольники 𝐵𝐶𝐷 и 𝐴𝐶𝐷.
а) Докажите, что 𝐸 и 𝐹 лежат на прямой 𝐼𝐽.
б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до прямой 𝐼𝐽, если 𝐴𝐶 = 2√ 3, 𝐵𝐶 = 2.
19 На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, около которого можно описать окружность, отмечены точки 𝐾 и 𝑁 соответственно. Около четырехугольников 𝐴𝐾𝑁𝐷 и 𝐵𝐶𝑁𝐾 также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равен 0,25.
а) Докажите, что четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 является равнобедренной трапецией.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника 𝐴𝐾𝑁𝐷, если радиус окружности, описанной около четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, равен 8, 𝐴𝐾 : 𝐾𝐵 = 2 : 5, а 𝐵𝐶 < 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 =
20 На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, около которого можно описать окружность, отмечены точки 𝐾 и 𝑁 соответственно. Около четырехугольников 𝐴𝐾𝑁𝐷 и 𝐵𝐶𝑁𝐾 также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равен 0,2.
а) Докажите, что прямые 𝐾𝑁 и 𝐴𝐷 параллельны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника 𝐵𝐶𝑁𝐾, если радиус окружности, описанной около четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, равен 7, 𝐴𝐾 : 𝐾𝐵 = 9 : 10, а 𝐵𝐶 < 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 = 10.
21 Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 лежат на окружности в указанном порядке, причем 𝐴𝐸 = 𝐸𝐷 = 𝐶𝐷, а прямые 𝐴𝐶 и 𝐵𝐸 перпендикулярны. Отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝑇.
а) Докажите, что прямая 𝐸𝐶 пересекает отрезок 𝑇 𝐷 в его середине.
б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝑇, если 𝐵𝐷 = 6, 𝐴𝐸 = √6.
22 Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 лежат на окружности в указанном порядке, причем 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸, а 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐸. Точка 𝐾 – пересечение прямых 𝐵𝐸 и 𝐴𝐷.
а) Докажите, что прямая 𝐶𝐸 делит отрезок 𝐾𝐷 пополам.
б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐾, если 𝐴𝐷 = 4, 𝐷𝐶 = √3.
Вам будет интересно:
Практика по заданию №16 в ЕГЭ-2024 по математике. Финансовая математика (задания и ответы)