ЕГЭ 2023. Практика по заданию №13 в ЕГЭ-2023 по профильной математике. Стереометрия. Работа включает в себя 8 тренировочное задание с решением. Работа предназначена для подготовки к экзамену, который пройдёт 1 июня 2023 года.
Скачать практику: Скачать
1. Основанием прямой треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые 𝐶𝐴1 и 𝐴𝐵1 перпендикулярны.
а) Докажите, что 𝐴𝐴1=𝐴𝐶.
б) Найдите расстояние между прямыми 𝐶𝐴1 и 𝐴𝐵1, если 𝐴𝐶=7, 𝐵𝐶=8.
2. Дана треугольная пирамида DABC. Точки M, N, P, Q лежат на рёбрах AB, BC, AD, CD, причем 𝐴𝑀:𝑀𝐵=𝐶𝑁:𝑁𝐵=1:2. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M, N лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
3. SABCD – правильная пирамида. Точка M находится на ребре SD, 𝑀𝑆:𝑆𝐷=2:3. Точка P – середина ребра AD, а Q – середина ребра BC.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ – равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
4. Дана пирамида PABCD, в основании – трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PAD.
б) Найдите объем PKBC, если 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=3, а высота равна 8.
5. Основанием прямой треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней 𝐴𝐴1𝐵1𝐵 и 𝐵𝐵1𝐶1𝐶 равны 15 и 9 соответственно, 𝐴𝐵=13.
а) Докажите, что треугольник 𝐵𝐴1𝐶1 – прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды 𝐴𝐴1𝐶1𝐵.
6. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 4√2. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.
7. Основанием прямой треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань 𝐴𝐶𝐶1𝐴1 является квадратом.
а) Докажите, что прямые 𝐶𝐴1 и 𝐴𝐵1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми 𝐶𝐴1 и 𝐴𝐵1, если 𝐴𝐶=4, 𝐵𝐶=7.
8. В треугольной пирамиде SABC известны боковые ребра 𝑆𝐴=𝑆𝐵=13, 𝑆𝐶=3√17. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объем пирамиды SABC.