ЕГЭ 2023. Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 18 заданий. Часть 1 содержит 11 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Пробный вариант составлен на основе официальной демоверсии от ФИПИ за 2023 год.
В конце варианта приведены правильные ответы ко всем заданиям. Вы можете свериться с ними и найти у себя ошибки.
Скачать тренировочный вариант ЕГЭ: Скачать
Интересные задания:
1. В треугольнике ??? угол ? равен 58°, биссектрисы ?? и ?? пересекаются в точке ?. Найдите угол ???. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 119
2. В правильной треугольной призме ????1?1?1, все рёбра которой равны 1, найдите угол между прямыми ??1 и ??1.
Ответ: 45
3. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 7 прыгунов из Голландии и 8 прыгунов из Бразилии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первым будет выступать прыгун из Бразилии.
Ответ: 0,4
4. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Ответ: 0,16
5. Найдите корень уравнения lg(4 − ?) = 2.
Ответ: -96
6. Найдите 16 cos 2?, если cos ? = 0,5.
Ответ: -8
7. На рисунке изображён график ? = ? ′(?) — производной функции ?(?), определенной на интервале (−9; 2). В какой точке отрезка [−8; −4] функция ?(?) принимает наибольшее значение?
Ответ: -4
8. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: ?(?) = ?0 + ?? + ?? 2 , где ? − время (в мин.), ?0 = 1320 К, ? = −20 К мин2 , ? = 200 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Ответ: 4
9. Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45- процентного раствора использовали для получения смеси?
Ответ: 15
10. На рисунке изображён график функции вида ?(?) = ? ? . Найдите значение ?(10).
Ответ: -0,1
11. Найдите наименьшее значение функции ? = (2? + 15) ∙ ? 2?+16 на отрезке [−12; −2].
Ответ: -1
13. В правильной четырёхугольной призме ?????1?1?1?1 сторона основания ?? = 6, а боковое ребро ??1 = 4√3. На рёбрах ??, ?1?1 и ?1?1 отмечены точки ?, ? и ? соответственно, причём ?? = ?1? = ?1? = 1. а) Пусть ? − точка пересечения плоскости ??? с ребром ??. Докажите, что ???? − квадрат. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ???.
Ответ: 55
14. Решите неравенство (3 4?−? 2−3 − 1) ∙ log1 2 (? 2 − 4? + 5) ≥ 0.
Ответ: (−∞; 1] ∪ {2} ∪ [3; +∞)
15. Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство ? тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5? 2 + 2? + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене ? тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит ?? − (0,5? 2 + 2? + 6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год ? = 10, а далее каждый год возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?
Ответ: 4 года
16. В трапеции ???? с основаниями ?? и ?? углы ??? и ??? прямые. а) Докажите, что ?? = ??. б) Найдите ??, если ?? = 2, ?? = 7.
Ответ: 8
18. В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какойто юноша отправил какой-то девушке несколько писем. а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем? б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну? в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Ответ: а) да б) 17 в) 41