ЕГЭ 2023. Задание №16 из сборника Ященко И.В теория и практика ЕГЭ 2023 математика 11 класс профильный уровень с ответами и решением, 36 тренировочных вариантов заданий. Планиметрия
В конце работы приведены правильные ответы ко всем заданиям. Вы можете свериться с ними и найти у себя ошибки.
Скачать задания: Скачать
Интересные задания:
1. В параллелограмме ???? угол ??? вдвое больше угла ???. Биссектриса угла ??? пересекает отрезок ?? в точке ?. На продолжении стороны ?? за точку ? выбрана такая точка ?, что ?? = ??. а) Докажите, что ?? : ?? = ?? : ??. б) Найдите ??, если ?? = 21, tg ∠??? = 0,4.
2. В параллелограмме ???? угол ??? вдвое больше угла ???. Биссектриса угла ??? пересекает отрезок ?? в точке ?. На продолжении стороны ?? за точку ? выбрана такая точка ?, что ?? = ??. а) Докажите, что ?? : ?? = ?? : ??. б) Найдите ??, если ?? = 24, tg ∠??? = 0,6.
3. Четырёхугольник ???? со сторонами ?? = 7 и ?? = ?? = 20 вписан в окружность радиусом ? = 16. а) Докажите, что прямые ?? и ?? параллельны. б) Найдите ??.
4. Четырёхугольник ???? со сторонами ?? = 14 и ?? = ?? = 40 вписан в окружность радиусом ? = 25. а) Докажите, что прямые ?? и ?? параллельны. б) Найдите ??.
5. В трапеции ???? с меньшим основанием ?? точки ? и ? – середины сторон ?? и ?? соответсвенно. В каждый из четырехугольников ???? и ???? можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ???? равнобедренная. б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ????, если ?? = 7, а радиус окружности, вписанной в четырехугольник ????, равен 2,5.
6. В трапеции ???? с меньшим основанием ?? точки ? и ? – середины сторон ?? и ?? соответсвенно. В каждый из четырехугольников ???? и ???? можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ???? равнобедренная. б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ????, если ?? = 16, а радиус окружности, вписанной в четырехугольник ????, равен 7.
7. Окружность с центром в точке ? касается гипотенузы ?? прямоугольного треугольника ??? и пересекает его катеты ?? и ?? в точках ? и ?. Точка ? – основание высоты, опущенной из вершины ?. ? и ? – центры окружностей, вписанных в треугольники ??? и ???. а) Докажите, что ? и ? лежат на отрезке ??. б) Найдите расстояние от точки ? до прямой ??, если ?? = 15, ?? = 20.
8. Окружность с центром в точке ? касается гипотенузы ?? прямоугольного треугольника ??? и пересекает его катеты ?? и ?? в точках ? и ?. Точка ? – основание высоты, опущенной из вершины ?. ? и ? – центры окружностей, вписанных в треугольники ??? и ???. а) Докажите, что ? и ? лежат на отрезке ??. б) Найдите расстояние от точки ? до прямой ??, если ?? = 2√ 3, ?? = 2.
9. На сторонах ?? и ?? четырехугольника ????, около которого можно описать окружность, отмечены точки ? и ? соотвественно. Около четырехугольников ???? и ???? также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника ???? равен 0,25. а) Докажите, что четырехугольник ???? является равнобедренной трапецией. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ????, если радиус окружности, описанной около четырехугольника ????, ?? : ?? = 2 : 5, а ?? < ?? и ?? = 4.
10. На сторонах ?? и ?? четырехугольника ????, около которого можно описать окружность, отмечены точки ? и ? соотвественно. Около четырехугольников ???? и ???? также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника ???? равен 0,2. а) Докажите, что прямые ?? и ?? параллельны. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ????, если радиус окружности, описанной около четырехугольника ????, равен 7, ?? : ?? = 9 : 10, а ?? < ?? и ?? = 10.
11. Точки ?, ?, ?, ? и ? лежат на окружности в указанном порядке, причем ?? = ?? = ??, а прямые ?? и ?? перпендикулярны. Отрезки ?? и ?? пересекаются в точке ?. а) Докажите, что прямая ?? пересекает отрезок ? ? в его середине. б) Найдите площадь треугольника ???, если ?? = 6, ?? = √ 6.
12. Точки ?, ?, ?, ? и ? лежат на окружности в указанном порядке, причем ?? = ?? = ??, а ?? ⊥ ??. Точка ? – пересечение прямых ?? и ??. а) Докажите, что прямая ?? делит отрезок ?? пополам. б) Найдите площадь треугольника ???, если ?? = 4, ?? = √ 3.
13. В параллелограмме ???? угол ? острый. На продолжениях сторон ?? и ?? за точку ? выбраны точки ? и ? соответсвенно, причем ?? = ?? и ?? = ??. а) Докажите, что ?? = ??. б) Найдите ??, если ?? = 5, sin ∠??? = 5 13 .
14. В параллелограмме ???? тангенс угла ? равен 1,5. На продолжениях сторон ?? и ?? параллелограмма за точку ? выбраны точки ? и ? соответсвенно, причем ?? = ?? и ?? = ??. а) Докажите, что ?? = ??. б) Найдите ??, если ?? = √ 13.
15. Около окружности с центром ? описана трапеция ???? с основаниями ?? и ??. а) Докажите, что ∠??? = ∠??? = 90∘ . б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что ?? = ??, а площадь четырхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции состаляет 12 49 площади трапеции ????.
16. Около окружности с центром ? описана трапеция ???? с основаниями ?? и ??. а) Докажите, что треугольник ??? прямоугольный. б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что ?? = ??, а площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 16 81 площади трапеции ????.
17. Около окружности с центром ? описана трапеция ???? с Точки ?1, ?1, ?1 – середины сторон соответственно ??, ?? и ?? остроугольного треугольника ???. а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников ?1??1, ?1??1 и ?1??1, пересекаются в одной точке. б) Известно, что ?? = ?? = 13 и ?? = 10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников ?1??1, ?1??1 и ?1??1.
18. Точки ?1, ?1, ?1 – середины сторон соответственно ??, ?? и ?? остроугольного треугольника ???. а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников ?1??1, ?1??1 и ?1??1, пересекаются в одной точке. б) Известно, что ?? = ?? = 17 и ?? = 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников ?1??1, ?1??1 и ?1??1.
19. В трапеции ???? основание ?? в два раза меньше основания ??. Внутри трапеции взяли точку ? так, что углы ??? и ??? прямые. а) Докажите, что ?? = ??. б) Найдите угол ???, если угол ??? равен 64∘ , а расстояние от точки ? до прямой ?? равно стороне ??.
20. Точка ? лежит на отрезке ??. Прямая, проходящая через точку ?, касается окружности с диаметром ?? в точке ? и второй раз пересекает окружность с диаметром ?? в точке ?. Продолжение отрезка ?? пересекает окружность с диаметром ?? в точке ?. а) Докажите, что прямые ?? и ?? параллельны. б) Найдите площадь треугольника ???, если ?? = 1 и ?? = 4.
21. Две окружности касаются внутренним образом в точке ?. Вершины ? и ? равнобедренного прямоугольного треугольника ??? с прямым углом ? лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая ?? вторично пересекает большую окружность в точке ?, а прямая ?? вторично пересекает меньшую окружность в точке ?. а) Докажите, что прямые ?? и ?? параллельны. б) Найдите ??, если радиусы окружностей равны 3 и 4.
22. Две окружности касаются внутренним образом в точке ?. Вершины ? и ? равнобедренного прямоугольного треугольника ??? с прямым углом ? лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке ?, а прямая ?? вторично пересекает меньшую окружность в точке ?. а) Докажите, что прямые ?? и ?? параллельны. б) Найдите ??, если радиусы окружностей равны √ 15 и 15.
23. В четырёхугольнике ???? противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ???? пересекаются в точке ? под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка ?. а) Докажите, что в четырёхугольник ???? можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если ?? = 10, ?? = 26.
24. В четырёхугольнике ???? противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ???? пересекаются в точке ? под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка ?. а) Докажите, что в четырёхугольник ???? можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если ?? = 12, ?? = 13.
25. В прямоугольнике ???? диагонали пересекаются в точке ?, а угол ??? равен 75∘ . Точка ? лежит вне прямоугольника, а угол ?? ? равен 150∘ . а) Докажите, что углы ??? и ? ?? равны. б) Прямая РО пересекает сторону ?? в точке ?. Найдите ??, если ?? = 6√ 3 и ?? = 4.
26. В прямоугольнике ???? диагонали пересекаются в точке ?, а угол ??? равен 22,5 ∘ . Точка ? лежит вне прямоугольника, а угол ?? ? равен 135∘ . а) Докажите, что углы ??? и ? ?? равны. б) Прямая ? ? пересекает сторону ?? в точке ?. Найдите ??, если ?? = 5√ 2 и ?? = 7.
27. На сторонах ??, ?? и ?? прямоугольного треугольника ??? с прямым углом ? вне треугольника ??? построены равнобедренные прямоугольник ???, ??? и ??? с прямыми углами ?, ? и ? соответственно. а) Докажите, что ?? – высота треугольника ???. б) Найдите площадь треугольника ???, если ?? = 4.
28. На сторонах ??, ?? и ?? прямоугольного треугольника ??? с прямым углом ? вне треугольника ??? построены равнобедренные прямоугольник ???, ??? и ВМС с прямыми углами ?, ? и ? соответственно. а) Докажите, что ?? – высота треугольника ???. б) Найдите площадь треугольника ???, если ?? = 6.
29. Отрезок, соединяющий середины ? и ? оснований ?? и ?? соответственно трапеции ????, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ???? равнобедренная. б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ?? исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны ??, основания ?? трапеции ???? и вписанной в неё окружности.
30. На сторонах ??, ?? и ?? прямоугольного треугольника ??? с прямым углом ? вне треугольника ??? построены равнобедренные прямоугольник ???, ??? и ??? с прямыми углами ?, ? и ? соответственно. а) Докажите, что ?? – высота треугольника ???. б) Найдите площадь треугольника ???, если ?? = 10.
31. Точка ? – центр вписанной в треугольник ??? окружности. Прямая ?? вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке ?. а) Докажите, что ∠? ?? = ∠? ??. б) Найдите площадь треугольника ?? ?, если радиус описанной около треугольника ??? окружности равен 6, ∠??? = 75∘ , ∠??? = 60∘ .
32. Точка ? – центр вписанной в треугольник ??? окружности. Прямая ?? вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке ?. а) Докажите, что ∠??? = ∠???. б) Найдите площадь треугольника ???, если радиус описанной около треугольника ??? окружности равен 6 √ 3, ∠??? = 60∘ .
33. Окружность проходит через вершины ?, ? и ? параллелограмма ????, пересекает сторону ?? в точках ? и ?, а также пересекает продолжение стороны ?? за точку ? в точке ?. а) Докажите, что ?? = ??. б) Найдите отношение ?? : ??, если ?? : ?? = 1 : 3, а cos ∠??? = 0,4.
34. Окружность проходит через вершины ?, ? и ? параллелограмма ????, пересекает сторону ?? в точках ? и ?, а также пересекает продолжение стороны ?? за точку ? в точке ?. а) Докажите, что ?? = ??. б) Найдите отношение ?? : ??, если ?? : ?? = 2 : 3, а cos ∠??? = 0,7.
35. В треугольнике ??? известно, что ?? = 10 и ?? = ?? = 14. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне ??, пересекает окружность, вписанную в треугольник ???. б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне ??.
36. В треугольнике ??? известно, что ?? = 26 и ?? = ?? = 38. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне ??, пересекает окружность, вписанную в треугольник ???. б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне ??.
Вам будет интересно:
Все задания №12 по профильной математике из сборника Ященко И. В. ЕГЭ 2023 (задания и ответы)