ЕГЭ 2024. За эту задачу можно получить целых 4 первичных балла, которые затем переводятся в 9-10 тестовых. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100. а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90? б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88? в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Скачать практику: Скачать
Интересные задания:
1. В продуктовом магазине есть весы с двумя чашами. На одну чашу весов кладут только продукты, на другую — гири. На чашу для гирь можно положить несколько гирь. Магазину разрешено продавать только целое число килограммов продуктов.
а) Можно ли некоторым набором из пяти гирь отвесить любое целое число килограммов от 1 до 25?
б) Можно ли некоторым набором из четырех гирь отвесить любое целое число килограммов от 1 до 25?
в) Найдите наибольшее значение n такое, что любой вес от 1 до n килограммов можно отвесить каким-нибудь набором из пяти гирь.
2. Дан набор цифр: 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9. Из них составляют одно трёх- и одно четырёхзначное число. Оба составленных числа кратны 45, цифры не повторяются.
а) Может ли сумма этих чисел быть равной 2205?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 3435?
в) Какова максимально возможная сумма этих чисел?
3. На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачёркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.
а) Может ли быть верным равенство A = B · C, если A > 140?
б) Может ли быть верным равенство A = B · C, если 440 ⩽ A < 500?
в) Найдите наибольшее число A, меньшее 900, для которого может быть верным равенство A = B · C.
4. Есть числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A = 7, B = 11.
а) Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?
5. Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.
а) Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см?
б) Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см?
в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?
6. Дано натуральное число. Можно либо вычесть из него утроенную сумму его цифр, либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. При этом полученное число должно быть натуральным.
a) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 29?
б) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 31?
в) Какое наименьшее натуральное число можно получить из 128 с помощью таких операций?
7. Трехзначное число, все цифры которого ненулевые, разделили на произведение его цифр.
а) Могло ли в результате деления получиться частное, равное 8?
б) Могло ли в результате деления получиться частное, равное 222?
в) Какое наибольшее частное можно было получить в результате деления?
8. Имеются контейнеры массой в 2 тонны и 7 тонн и корабли с грузоподъемностью в 10 тонн.
а) Можно ли 12 контейнеров массой 7 тонн и 24 контейнера массой 2 тонны погрузить на 15 кораблей?
б) Можно ли 12 контейнеров массой 7 тонн и 18 контейнеров массой 2 тонны погрузить на 13 кораблей?
в) Какое наименьшее количество кораблей требуется для погрузки 12 контейнеров массой 7 тонн и 47 контейнеров массой 2 тонны?
9. По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425, так, что сумма любых трёх последовательных чисел не делится на 2, а сумма любых четырёх последовательных чисел делится на 4.
а) Может ли N быть равным 280?
б) Может ли N быть равным 149?
в) Какое наибольшее значение может принимать N?
10. Есть четыре коробки: в первой коробке 121 камень, во второй — 122 камня, в третьей — 123 камня, а в четвёртой камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трех коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Может ли в первой коробке оказаться 121 камень, во второй — 122 камня, в третьей — 119 камней, а в четвёртой 4 камня?
б) Может ли в четвертой коробке быть 366 камней? в) Какое максимальное число камней может быть в четвертой коробке?
11. C трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
a) Может ли в результате такой операции получиться число 201?
б) Может ли в результате такой операции получиться число 251?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 600 до 999 включительно?
12. Даны четыре последовательных натуральных числа. Каждое из чисел поделили на одну
из его цифр, не равную нулю, а затем четыре полученных результата сложили.
а) Может ли полученная сумма равняться 386?
б) Может ли полученная сумма равняться 9,125?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 200 и не больше 699?
13. Трёхзначные натуральные числа делятся на сумму их цифр. Известно, что полученное частное — целое число.
а) Может ли получиться 55?
б) Может ли получиться 87?
в) Найдите наименьшее возможное частное, если число не делится на 100, а его первая цифра равна 7.
14. Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трёх чисел быть равной 420?
б) Может ли сумма трёх чисел быть равной 419?
в) Сколько существует таких троек чисел, что первое число — трёхзначное, а последнее равно 5?
15. Дано трёхзначное число A, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 1105?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 1106?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение A · S, если оно больше 1503?
16. В последовательности из 80 целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны 0.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 20?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
17. На доске написано 100 различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна 5120.
а) Может ли на доске быть написано число 230?
б) Может ли быть такое, что на доске не написано число 14?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, написано на доске?
18. Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое число на красной. Числа на синих карточках увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое всех чисел стало равно 31,2.
а) Может ли быть 10 синих карточек?
б) Может ли быть 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
19. В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
20. На доске написаны числа 1, 2, 3,. . . , 30. За один ход разрешается стереть три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Вам будет интересно:
Практика по заданию №1 в ЕГЭ-2023 по математике. Планиметрия (задания и ответы)